SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

 Observe o seguinte problema:

 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m². Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192   4x² + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16                 1

x² +xy = 48                 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim:    2x + y = 16        1

                        y = 16 - 2x

Substituindo y em  2 , temos:

               x² + x ( 16 - 2x) = 48

              x ² + 16x - 2x² = 48

                - x²  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.

                  x² - 16x + 48 = 0

x'=4       e        x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m

Exercícios:

1) A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

2)Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 

3)Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?

4)Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 

Respostas

1)A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). 

Cidade A = x 
Cidade B = y 

x = 3y 
x + y = 200 000 

Substituindo x = 3y 

x + y = 200 000 
3y + y = 200 000 
4y = 200 000 
y = 200 000/4 
y = 50 000 
x = 3y , substituindo y = 50 000 

Temos 
x = 3 * 50 000 
x = 150 000 

População da cidade A = 150 000 habitantes 
População da cidade B = 50 000 habitantes 

2)Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140

x + y = 10
20x + 5y = 140

Aplicar método da substituição

Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4

Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x = 6

3)Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 

Pequenos: x 
Grandes: y 

x + y = 8 
x + 1 = 2y 

Isolando x na 1ª equação 

x + y = 8 
x = 8 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação 
x + 1 = 2y 
(8 – y) + 1 = 2y 
8 – y + 1 = 2y 
9 = 2y + y 
9 = 3y 
3y = 9 
y = 9/3 
y = 3 

Substituindo y = 3 
x = 8 – 3 
x = 5 

Peixes pequenos: 5 
Peixes grandes: 3 

4)Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 

Maior: x
Menor: y

2x + 3y = 16
x + 5y = 1

Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 – 5y

Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 – 5y) + 3y = 16
2 – 10y + 3y = 16
- 7y = 16 – 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y = - 2

Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11

Os números são 11 e -2.