Revolução Francesa

Pode se dizer que a Revolução Francesa teve relevante papel nas bases da sociedade de uma época, além de ter sido um marco divisório da história dando início à idade contemporânea.

Foi um acontecimento tão importante que seus ideais influenciaram vários movimentos ao redor do mundo, dentre eles, a nossa Inconfidência mineira. Esse movimento teve a participação de vários grupos sociais: pobres, desempregados, pequenos comerciantes, camponeses (estes, tinham que pagar tributos à nobrrza e ao clero).

Em 1789, a população da França era a maior do mundo, e era dividida em três estados: clero (1º estado), nobreza (2º estado) e povo (3º estado).

Clero

• Alto clero (bispos, abades e cônicos)
• Baixo clero (sacerdotes pobres)

Nobreza

• Nobreza cortesã (moradores do Palácio de Versalhes)
• Nobreza provincial (grupo empobrecido que vivia no interior)
• Nobreza de Toga (burgueses ricos que compravam títulos de nobreza e cargos políticos e administrativos)

Povo

• Camponeses
• Grande burguesia (banqueiros, grandes empresários e comerciantes)
• Média burguesia (profissionais liberais)
• Pequena burguesia (artesãos e comerciantes)
• Sans-culottes (aprendizes de ofícios, assalariados, desempregados). Tinham este nome porque não usavam os calções curtos com meias típicos da nobreza.

O clero e a nobreza tinham vários privilégios: não pagavam impostos, recebiam pensões do estado e podiam exercer cargos públicos.

O povo tinha que arcar com todas as despesas do 1º e 2º estado. Com o passar do tempo e influenciados pelos ideais do Iluminismo, o 3º estado começou a se revoltar e a lutar pela igualdade de todos perante a lei. Pretendiam combater, dentre outras coisas, o absolutismo monárquico e os privilégios da nobreza e do clero.

A economia francesa passava por uma crise, mais da metade da população trabalhava no campo, porém, vários fatores ( clima, secas e inundações), pioravam ainda mais a situação da agricultura fazendo com que os preços subissem, e nas cidades e no campo, a população sofria com a fome e a miséria.

Além da agricultura, a indústria têxtil também passava por dificuldades por causa da concorrência com os tecidos ingleses que chegavam do mercado interno francês. Como conseqüência, vários trabalhadores ficaram desempregados e a sociedade teve o seu número de famintos e marginalizados elevados.

Toda esta situação fazia com que a burguesia (ligada à manufatura e ao comércio) ficasse cada vez mais infeliz. A fim de contornar a crise, o Rei Luís XVI resolveu cobrar tributos ao povo (3º estado), em vez de fazer cobranças ao clero e a nobreza.

Sentindo que seus privilégios estavam ameaçados, o 1º e 2º estado se revoltaram e pressionaram o rei para convocar a Assembléia dos Estados Gerais que ajudaria a obrigar o povo a assumir os tributos.

OBS: A Assembléia dos Estados Gerais não se reunia há 175 anos. Era formada por integrantes dos três estados, porém, só era aceito um voto para cada estado, como clero e nobreza estavam sempre unidos, isso sempre somava dois votos contra um do povo.

Essa atitude prejudicou a nobreza que não tinha consciência do poder do povo e também porque as eleições para escolha dos deputados ocorreram em um momento favorável aos objetivos do 3º estado, já que este vivia na miséria e o momento atual do país era de crise econômica, fome e desemprego.

Em maio de 1789, após a reunião da Assembléia no palácio de Versalhes, surgiu o conflito entre os privilegiados (clero e nobreza) e o povo.

A nobreza e o clero, perceberam que o povo tinha mais deputados que os dois primeiros estados juntos, então, queria de qualquer jeito fazer valer o voto por ordem social. O povo (que levava vantagem) queria que o voto fosse individual.

Para que isso acontecesse, seria necessário uma alteração na constituição, mas a nobreza e o clero não concordavam com tal atitude. Esse impasse fez com que o 3º estado se revoltasse e saísse dos Estados Gerais.

Fora dos Estados Gerais, eles se reuniram e formaram a Assembléia Nacional Constituinte.

O rei Luís XVI tentou reagir, mas o povo permanecia unido, tomando conta das ruas. O slogan dos revolucionários era“Liberdade, Igualdade e Fraternidade”.

Em 14 de julho de 1789 os parisienses invadiram e tomaram a bastilha (prisão) que representava o poder absoluto do rei, já que era lá que ficavam os inimigos políticos dele. Esse episódio ficou conhecido como “A queda da Bastilha”.

O rei já não tinha mais como controlar a fúria popular e tomou algumas precauções para acalmar o povo que invadia, matava e tomava os bens da nobreza: o regime feudal sobre os camponeses foi abolido e os privilégios tributários do clero e da nobreza acabaram.

No dia 26 de agosto de 1789 a Assembléia Nacional Constituinte proclamou a declaração dos direitos do Homem e do Cidadão, cujos principais pontos eram:

• O respeito pela dignidade das pessoas
• Liberdade e igualdade dos cidadãos perante a lei
• Direito à propriedade individual
• Direito de resistência à opressão política
• Liberdade de pensamento e opinião

Em 1790, a Assembléia constituinte reduziu o poder do clero confiscando diversas terras da Igreja e pôs o clero sob a autoridade do Estado. Essa medida foi feita através de um documento chamado “Constituição Civil do Clero”. Porém, o Papa não aceitou essa determinação.

Sobraram duas alternativas aos sacerdotes fiéis ao rei.

1. Sair da França
2. Lutar contra a revolução

Muitos concordaram com essa lei para poder permanecer no país, mas os insatisfeitos fugiram da França e no exterior decidiram se unir e formar um exército para reagir à revolução.

Em 1791, foi concluída a constituição feita pelos membros da Assembléia Constituinte.

Principais tópicos dessa constituição

• Igualdade jurídica entre os indivíduos
• Fim dos privilégios do clero e nobreza
• Liberdade de produção e de comércio (sem a interferência do estado)
• Proibição de greves
• Liberdade de crença
• Separação do estado da Igreja
• Nacionalização dos bens do clero
• Três poderes criados (Legislativo, Executivo e Judiciário)

O rei Luís XVI não aceitou a perda do poder e passou a conspirar contra a revolução, para isso contatava nobres emigrados e monarcas da Áustria e Prússia (que também se sentiam ameaçados). O objetivo dos contra-revolucionários era organizar um exército que invadisse a França e restabelecesse a monarquia absoluta.

Em 1791, Luís XVI quis se unir aos contra-revolucionários e fugiu da França, mas foi reconhecido, capturado, preso e mantido sob vigilância.

Em 1792, o exército austro-prussiano invadiu a França, mas foi derrotado pelas tropas francesas na Batalha de Valmy. Essa vitória deu nova força aos revolucionários franceses e tal fato levou os líderes da burguesia decidir proclamar a República (22 de setembro de 1792).

Com a proclamação, a Assembléia Constituinte foi substituída pela Convenção Nacional que tinha como uma das missões elaborar uma nova constituição para a França.

Nessa época, as forças políticas que mais se destacavam eram as seguintes:

• Girondinos: alta burguesia
• Jacobinos: burguesia (pequena e média) e o proletariado de Paris. Eram radicais e defendiam os interesses do povo. Liderados por Robespierre e Saint-Just, pregavam a condenação à morte do rei.
• Grupo da Planície: Apoiavam sempre quem estava no poder.

Mesmo com o apoio dos girondinos, Luís XVI foi julgado e guilhotinado em janeiro de 1793. A morte do rei trouxe uma série de problemas como revoltas internas e uma reorganização das forças absolutistas estrangeiras.

Foram criados o Comitê de Salvação Pública e o Tribunal Revolucionário (responsável pela morte na guilhotina de muitas pessoas que eram consideradas traidoras da causa revolucionária).

Esse período ficou conhecido como “Terror”, ou “Grande medo“, pois os não-jacobinos tinham medo de perder suas cabeças.

Começa uma ditadura jacobina, liderada por Robespierre. Durante seu governo, ele procurava equilibrar-se entre várias tendências políticas, umas mais identificadas com a alta burguesia e outras mais próximas das aspirações das camadas populares.

Robespierre conseguiu algumas realizações significativas, principalmente no setor militar: o exército francês conseguiu repelir o ataque de forças estrangeiras.

Durante o governo dele vigorou a nova Constituição da República (1793) que assegurava ao povo:

• Direito ao voto
• Direito de rebelião
• Direito ao trabalho e a subsistência
• Continha uma declaração de que o objetivo do governo era o bem comum e a felicidade de todos.

Quando as tensões decorrentes da ameaça estrangeira diminuiram, os girondinos e o grupo da planície uniram-se contra Robespierre que sem o apoio popular foi preso e guilhotinado em 1794.

Após a sua morte, a Convenção Nacional foi controlada por políticos que representavam os interesses da alta burguesia. Com nova orientação política, essa convenção decidiu elaborar outra constituição para a França.

A nova constituição estabelecia a continuidade do regime republicano que seria controlado pelo Diretório (1795 – 1799). Neste período houve várias tentativas para controlar o descontentamento popular e afirmar o controle político da burguesia sobre o país.

Durante este período, a França voltou a receber ameaças das nações absolutistas vizinhas agravando a situação.

Nessa época, Napoleão Bonaparte ganhou prestígio como militar e com o apoio da burguesia e do exército, provocou um golpe.

Em 10/11/1799, Napoleão dissolveu o diretório e estabeleceu um novo governo chamado Consulado. Esse episódio ficou conhecido como 18 Brumário.

Com isso ele consolidava as conquistas da burguesia dando um fim para a revolução.

História (amanhã postarei sobre Napoleão)

História 

Independência dos EUA

No século XVIII, observamos o processo de crise das monarquias absolutistas, sinalizando o fim de um período chamado pelos liberais de Antigo Regime. Combatendo os princípios religiosos, filosóficos e políticos que fundamentavam a definição de um poder centralizado e a manutenção de certas práticas feudais, as revoluções burguesas sinalizavam a criação de uma nova forma de poder estabelecido.

De acordo com a historiografia, a primeira experiência revolucionária a defender as ideias iluministas e reivindicar o fim da opressão monárquica, ocorreu no território das Treze Colônias inglesas. De posse da Coroa Britânica, as Treze Colônias desenvolveram certas peculiaridades econômicas, políticas e culturais. Sem contar com um modelo homogêneo de exploração colonial, os habitantes dessa região tinham uma relação diferente com sua metrópole.

Conhecida como “negligência salutar”, a liberdade concedida pelo governo britânico aos colonos norte-americanos foi responsável pelo florescimento de um espírito autônomo e a consolidação de diferentes formas de exploração do território. Ao sul, a economia baseada na plantation de exportação sustentada pelo trabalho escravo fazia contraste com as pequenas propriedades e as atividades comerciais empreendidas pelos colonos do norte.

Ao longo do século XVII, o envolvimento da Inglaterra em guerras pela Europa tornou-se um dos grandes fatores explicativos de toda liberdade política e econômica concedida às Treze Colônias. Entre os conflitos em que a Inglaterra se envolveu, a Guerra dos Sete Anos (1756 – 1763) foi responsável pelo esvaziamento dos cofres públicos do país. Buscando sanar suas contas, a Inglaterra resolveu enrijecer suas relações com as colônias.

Em 1764, a chamada Lei do Açúcar obrigava os colonos a pagar uma taxa adicional sob qualquer carregamento de açúcar que não pertencesse às colônias britânicas. Com tal exigência, a autonomia econômica dos colonos começava a ser ameaçada. No ano seguinte, a Lei do Selo exigia a compra de um selo presente em todos os documentos que circulassem pelo território. Já em 1773, a Lei do Chá obrigava a colônia a consumir somente o chá oriundo das embarcações britânicas.

Inconformados com tais desmandos e inspirados pelos escritos dos pensadores John Locke e Thomas Paine – francos opositores da dominação colonial – os colonos norte-americanos começaram a se opor à presença britânica nas Treze Colônias. Em dezembro de 1773, organizaram uma revolta contra o monopólio do chá que ficou conhecida como Boston Tea Party. Intransigente aos protestos coloniais, a Inglaterra decidiu fechar o porto de Boston (local da revolta) e impor as chamadas Leis Intoleráveis.

No ano seguinte, reunidos no Primeiro Congresso da Filadélfia, os colonos redigiram um documento exigindo o fim das exigências metropolitanas. No Segundo Congresso da Filadélfia, ocorrido em 4 de julho de 1776, os colonos resolveram romper definitivamente com a Inglaterra, proclamando a sua Independência.

Não reconhecendo as resoluções do Congresso da Filadélfia, a Inglaterra entrou em conflito contras as 13 colônias. Esses confrontos marcaram a chamada Guerra de Independência das Treze colônias. Apoiados pelos franceses, inimigos históricos da Inglaterra, as Treze Colônias venceram a guerra, tendo sua independência reconhecida em 1783.

Iluminismo

No século XVIII, um grupo de pensadores começou a se mobilizar em torno da defesa de ideias que pautavam a renovação de práticas e instituições vigentes em toda Europa. Levantando questões filosóficas que pensavam a condição e a felicidade do homem, o movimento iluminista atacou sistematicamente tudo aquilo que era considerado contrário à busca da felicidade, da justiça e da igualdade.

Dessa maneira, os iluministas preocuparam-se em denunciar a injustiça, a dominação religiosa, o estado absolutista e os privilégios enquanto vícios de uma sociedade que, cada vez mais, afastava os homens do seu “direito natural” à felicidade. Segunda a visão desses pensadores, sociedades que não se organizam em torno da melhoria das condições de seus indivíduos concebem uma realidade incapaz de justificar, por argumentos lógicos, sua própria existência.

Por isso, o pensamento iluminista elege a “razão” como o grande instrumento de reflexão capaz de melhorar e empreender instituições mais justas e funcionais. No entanto, se o homem não tem sua liberdade assegurada, a razão acaba sendo tolhida por entraves como o da crença religiosa ou pela imposição de governos que oprimem o indivíduo. A racionalização dos hábitos era uma das grandes ideias defendidas pelo iluminismo.

As instituições religiosas eram sistematicamente atacadas por esses pensadores. A intromissão da Igreja nos assuntos econômicos e políticos era um tipo de hábito nocivo ao desenvolvimento e ao progresso da sociedade. Até mesmo o pensamento dogmático religioso era colocado como uma barreira entre Deus e o homem. O pensamento iluminista acreditava que a natureza divina estava presente no próprio indivíduo e, por isso, a razão e o experimento eram meios seguros de compreensão da essência divina.

Inspirados pelas leis fixadas nas ciências naturais, os iluministas também defendiam a existência de verdades absolutas. O homem, em seu estado originário, possuía um conjunto de valores que fazia dele naturalmente afeito à bondade e igualdade. Seriam as falhas cometidas no desenvolvimento das sociedades que teria afastado o indivíduo destas suas características originais. Por isso, instituições políticas preocupadas com a liberdade deveriam dar lugar às injustiças promovidas pelo Estado Absolutista.

Por essas noções instalava-se uma noção otimista do mundo que não teria como interromper seu progresso no momento em que o homem contava com o pleno uso de sua racionalidade. Os direitos naturais, o respeito à diversidade de ideias e a justiça deveriam trazer a melhoria da condição humana. Oferecendo essas ideias, o iluminismo motivou as revoluções burguesas que trouxeram o fim do Antigo Regime e a instalação de doutrinas de caráter liberal.

Revolução Industrial

Evolução do trabalho:

  - Artesanato; Artesã, matava o animal, costurava, pintava e vendia (um cara só fazia isso)

  - Manufatura; O homem ainda trabalhava mas não era ele sozinho

  - Maquinofatura; Começo das máquinas

Conceito:

      É o conjunto de transformações no trabalho, ocorridas na Inglaterra a partir de meados do século 

XVIII, com base nas máquinas, em substituição à produção com base nas ferramentas. 

Fatores que levaram a Inglaterra a sair na frente:  

    - Acumulação de capital;

    - Sistema bancário eficiente;

    - Mentalidade protestante;

    - Aplicação dos princípios do liberalismo econômico 

    - Domínio do comércio marítimo

    - Reservas naturais de carvão e minério de ferro

    - Disponibilidade de mão-de-obra

    - Capacidade de inventar. Exemplo: James Walt criou a máquina a vapor :)

1° Revolução industrial (1750-1850)

    - Uso da energia a vapor 

    - Grande importância do carvão mineral e do minério de ferro

    - Revolução nos transportes locomotiva e navio a vapor

Consequências da 1° Revolução industrial

    - Poluição ambiental

    - Substituição do trabalho do homem pela máquina

    - Aumento da extração de minérios
    - Avanço científico
    - Concentração da população nos grandes centros urbanos

2° Revolução industrial

    - Produção de aço

    - Exploração de petróleo 

    - Motor a combustão

    - Veículos movidos a óleo
    - Criação dos meios de transportes: Avião e Navio 
    - Criação dos meios de comunicação: Telefone e telégrafo 

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

 Observe o seguinte problema:

 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m². Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192   4x² + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16                 1

x² +xy = 48                 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim:    2x + y = 16        1

                        y = 16 - 2x

Substituindo y em  2 , temos:

               x² + x ( 16 - 2x) = 48

              x ² + 16x - 2x² = 48

                - x²  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.

                  x² - 16x + 48 = 0

x'=4       e        x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m

Exercícios:

1) A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

2)Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 

3)Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?

4)Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 

Respostas

1)A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). 

Cidade A = x 
Cidade B = y 

x = 3y 
x + y = 200 000 

Substituindo x = 3y 

x + y = 200 000 
3y + y = 200 000 
4y = 200 000 
y = 200 000/4 
y = 50 000 
x = 3y , substituindo y = 50 000 

Temos 
x = 3 * 50 000 
x = 150 000 

População da cidade A = 150 000 habitantes 
População da cidade B = 50 000 habitantes 

2)Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140

x + y = 10
20x + 5y = 140

Aplicar método da substituição

Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4

Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x = 6

3)Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 

Pequenos: x 
Grandes: y 

x + y = 8 
x + 1 = 2y 

Isolando x na 1ª equação 

x + y = 8 
x = 8 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação 
x + 1 = 2y 
(8 – y) + 1 = 2y 
8 – y + 1 = 2y 
9 = 2y + y 
9 = 3y 
3y = 9 
y = 9/3 
y = 3 

Substituindo y = 3 
x = 8 – 3 
x = 5 

Peixes pequenos: 5 
Peixes grandes: 3 

4)Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 

Maior: x
Menor: y

2x + 3y = 16
x + 5y = 1

Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 – 5y

Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 – 5y) + 3y = 16
2 – 10y + 3y = 16
- 7y = 16 – 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y = - 2

Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11

Os números são 11 e -2.

Inequação

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

Onde a, b são números reais com a ≠ 0.

Exemplos:

-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:

Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.

Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)

2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.

Exemplo 2: Resolva a inequação 2x – 6 < 0.

Solução:
2x < 6
x < 6/2

x < 3

Portanto a solução da inequação e x < 3

Inequação do 2º grau

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

S = {x ? R / –7/3 < x < –1}


Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x ? R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x ? R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}


Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x ? R / x < 3 e x > 3}



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
 

Matemática: Relações trigonometrica

Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o. Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem vértice em B, cuja medida x, em graus, é um número real que está no intervalo . Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões: Seno Seno de x é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo  e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Seno de x por Sen x, temos:  . Cosseno Cosseno de x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Cosseno de x por Cos x, temos: . Tangente Tangente de x é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo . Indicando a Tangente de x por Tg x, temos: . Um fato interessante é que, como pode ser observado na figura abaixo, usando o fato de que os triângulos A1BC1, A2BC2, A3BC3, A4BC4, ... são semelhantes, imediatamente concluímos que assim como, e ou seja, Sen x, Cos x, Tg x não dependem do particular triângulo retângulo ABC, mas apenas do ângulo , cuja medida é x graus. Observação : De acordo com a definição, é fácil verificar que , para todo x variando no intervalo ]0,90[. Temos assim, a possibilidade de definir três funções que têm como domínio o intervalo ]0,90[, da seguinte maneira: se x variando em ]0,90[, representa a medida em graus de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos: Observação: No caso das funções definidas acima, temos: a imagem da função Sen é ]0,1[, bem como a da função Cos; a imagem da função Tg é . Entretanto, a fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo ser acutângulo ou obtusângulo, ampliamos o domínio das funções definidas acima, colocando: Sen 90=1 Cos 90=0 Sen (180-x)=Sen x Cos(180-x)=-Cos x Tg(180-x)=-Tgx Problema: Defina as três funções estendidas, explicitando qual o domínio e qual a imagem de cada uma delas. Notação: indicando pela letra minúscula o lado oposto a cada vértice do triângulo, que é denotado pela correspondente letra maiúscula, e indicando por A a medida em graus do ângulo , B a medida em graus do ângulo  e C a medida em graus do ângulo , temos: Lei dos senos: Em todo triângulo ABC, vale a seguinte relação:  Lei dos cossenos: Em todo triângulo ABC, valem as relações:

Dado um triângulo ABC retângulo em B, em que o ângulo BÂC é igual a α, identificamos seis razões entre os lados de ABC, que denominamos razões trigonométricas de α.

As principais são:

• O seno de α, que é a razão sen α = q/p entre o cateto oposto a α e a hipotenusa do triângulo;
• O co–seno de α, que é a razão cos α = r/p entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa;
• A tangente de α, que é a razão tg α = q/r entre o cateto oposto e o cateto adjacente a α;

As razões inversas das três acima são chamadas, respectivamente, de co-secante, secante e co-tangente de α.

Observação importante:

Os valores destas razões, para um mesmo ângulo α, não são independentes entre si, já que os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. As relações mais importantes entre as razões trigonométricas são:

• sen² α + cos² α = 1
• tg α =sen α / cos α

Exemplos de Aplicações:

1º)  Ao soltar uma pipa, um menino já usou toda a linha de seu carretel, que tem 100 metros da linha. O ângulo que a linha forma com a horizontal é igual a 18º. A que altura está a pipa? (Dado:    sen18° = 0,3090)

Solução:
Para resolver o problema, vamos admitir que a linha fique em linha reta (na verdade, ela forma em pequena “barriga” devido ao peso da própria linha).

Usando um modelo matemático temos:

Na figura, temos sen 18° =  h/100 . Logo, h = 100 sen18° = 100 x 0,3090 = 30,9 metros. A altura que calculamos é medida a partir da mão do menino. Para calcular em relação ao solo devemos somar a distância da mão ao solo, que pode ser estimada em 1 m. Logo, a pipa está a aproximadamente 31,9 metros do solo.

2º) Sabendo que a tangente de um ângulo agudo é igual a 2, calcule senα e cosα .

Solução:

Temos tg α = sen α/cos α = 2, ou seja, senα = 2 cos α. Substituindo na relação sen² α + cos² α = 1, obtemos 4cos² α + cos² α  = 1.

Portanto, cos2 α = 1/5 e, como as razões trigonométricas de ângulos agudos são números positivos, cos α = 1/√5  = (√5)/5 .

Finalmente, sen α  = 2 cos α = (2√5)/5

Matemática

RELAÇÃO MÉTRICAS NO TRIÁNGULO RETÂNGULO


Vamos recordar:

O triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto.

Observe que:

--  Os lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos
--  O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa


ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seja o triângulo retângulo ABC:

Os elementos do triángulo dado são:

a------medida da hipotenusa BC
b------medida do cateto AC
c------medida do cateto AB
h------medida da altura AE
m ----medida da projeção de AB sobre a hipotenusa
n------medida da projeção de AC sobre a hipotenusa

RELAÇÃO METRICAS

Seja o trângulo retângulo :

Traçando a altura relativa à hipotenusa do trângulo retângulo ABC, obtemos dois outros triângulos retângulos .

Os trângulos ABC, EBA e EAC são semelhantes (têm dois ângulos congruentes), então podemos enunciar as relações que seguem.

1º RELAÇÃO

A medida de cada cateto é a média proporcional entre as medidas da hipotenusa e da projeção deste cateto

Sejam as semelhanças:

2º RELAÇÃO

A medida da altura à hipotenusa é a medida proporcional entre as medidas das projeções dos catetos.

Sejam os triângulos:

3º RELAÇÃO

O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a essa hipotenusa.

Sejam os triângulos :

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcule o valor de y , nos triângulos retângulo:

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor de x nos triângulos retângulos :

R: x = 12

R: x= 1,8

R: x =  3,2

R: x = 15

R: x = 16

R: x = 25

4º RELAÇÃO - TEOREMA DE PITÁGORAS

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos

Pela relação 1 , temos:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcular o valor de x nos seguintes triângulos retângulos:

EXERCÍCIOS

1) Calcule x nas figuras abaixo:

2) Calcule x nas figuras abaixo:

3) Na figura, calcule a distância de A a B

4) Calcule x e y:

5) Utilizando o rteorema de de Pitágoras, calcule x

6) Calcule a nas figuras abaixo: