Matemática: Relações trigonometrica

Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o. Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem vértice em B, cuja medida x, em graus, é um número real que está no intervalo . Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões: Seno Seno de x é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo  e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Seno de x por Sen x, temos:  . Cosseno Cosseno de x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Cosseno de x por Cos x, temos: . Tangente Tangente de x é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo . Indicando a Tangente de x por Tg x, temos: . Um fato interessante é que, como pode ser observado na figura abaixo, usando o fato de que os triângulos A1BC1, A2BC2, A3BC3, A4BC4, ... são semelhantes, imediatamente concluímos que assim como, e ou seja, Sen x, Cos x, Tg x não dependem do particular triângulo retângulo ABC, mas apenas do ângulo , cuja medida é x graus. Observação : De acordo com a definição, é fácil verificar que , para todo x variando no intervalo ]0,90[. Temos assim, a possibilidade de definir três funções que têm como domínio o intervalo ]0,90[, da seguinte maneira: se x variando em ]0,90[, representa a medida em graus de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos: Observação: No caso das funções definidas acima, temos: a imagem da função Sen é ]0,1[, bem como a da função Cos; a imagem da função Tg é . Entretanto, a fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo ser acutângulo ou obtusângulo, ampliamos o domínio das funções definidas acima, colocando: Sen 90=1 Cos 90=0 Sen (180-x)=Sen x Cos(180-x)=-Cos x Tg(180-x)=-Tgx Problema: Defina as três funções estendidas, explicitando qual o domínio e qual a imagem de cada uma delas. Notação: indicando pela letra minúscula o lado oposto a cada vértice do triângulo, que é denotado pela correspondente letra maiúscula, e indicando por A a medida em graus do ângulo , B a medida em graus do ângulo  e C a medida em graus do ângulo , temos: Lei dos senos: Em todo triângulo ABC, vale a seguinte relação:  Lei dos cossenos: Em todo triângulo ABC, valem as relações:

Dado um triângulo ABC retângulo em B, em que o ângulo BÂC é igual a α, identificamos seis razões entre os lados de ABC, que denominamos razões trigonométricas de α.

As principais são:

• O seno de α, que é a razão sen α = q/p entre o cateto oposto a α e a hipotenusa do triângulo;
• O co–seno de α, que é a razão cos α = r/p entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa;
• A tangente de α, que é a razão tg α = q/r entre o cateto oposto e o cateto adjacente a α;

As razões inversas das três acima são chamadas, respectivamente, de co-secante, secante e co-tangente de α.

Observação importante:

Os valores destas razões, para um mesmo ângulo α, não são independentes entre si, já que os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. As relações mais importantes entre as razões trigonométricas são:

• sen² α + cos² α = 1
• tg α =sen α / cos α

Exemplos de Aplicações:

1º)  Ao soltar uma pipa, um menino já usou toda a linha de seu carretel, que tem 100 metros da linha. O ângulo que a linha forma com a horizontal é igual a 18º. A que altura está a pipa? (Dado:    sen18° = 0,3090)

Solução:
Para resolver o problema, vamos admitir que a linha fique em linha reta (na verdade, ela forma em pequena “barriga” devido ao peso da própria linha).

Usando um modelo matemático temos:

Na figura, temos sen 18° =  h/100 . Logo, h = 100 sen18° = 100 x 0,3090 = 30,9 metros. A altura que calculamos é medida a partir da mão do menino. Para calcular em relação ao solo devemos somar a distância da mão ao solo, que pode ser estimada em 1 m. Logo, a pipa está a aproximadamente 31,9 metros do solo.

2º) Sabendo que a tangente de um ângulo agudo é igual a 2, calcule senα e cosα .

Solução:

Temos tg α = sen α/cos α = 2, ou seja, senα = 2 cos α. Substituindo na relação sen² α + cos² α = 1, obtemos 4cos² α + cos² α  = 1.

Portanto, cos2 α = 1/5 e, como as razões trigonométricas de ângulos agudos são números positivos, cos α = 1/√5  = (√5)/5 .

Finalmente, sen α  = 2 cos α = (2√5)/5